线代随笔07-关于基的那些事

线性空间的基非常重要，正如其名字，它是线性空间的基石，线性空间围绕其构建。每个特定的线性空间，可以有无数不同的基，最好用，也是最常用的基是正交基，因为它乘起来得到单位矩阵。虽然基千变万化，但是基的数目稳定，称之为维度；且基一旦确定，可以唯一表示线性空间中的任意向量。下面记录基的一些性质并且给出相关证明。

基唯一表示任意向量

设A的列向量 $\vec{a_1},\cdots, \vec{a_k}$ 线性独立， $\vec{x}$ 为 $C(A)$ 中任意向量，那么假设

\vec{x} = \sum_{i = 1}^{k} c_{i} \vec{a_{i}} = \sum_{i = 1}^{k} d_{i} \vec{a_{i}} \Rightarrow \vec{0} = \sum_{i = 1}^{k} (c_{i} - d_{i}) \vec{a_{i}}

$\vec{x}=\sum^k_{i=1}c_i\vec{a_i}=\sum^k_{i=1}d_i\vec{a_i} \Rightarrow \vec{0} = \sum^k_{i=1}(c_i - d_i)\vec{a_i}$

由于线性独立， $c_i=d_i$ ,证毕。

维度不变

设空间 $S$ 有两组基

A = [\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{m} \end{matrix}], B = [\begin{matrix} b_{1} & \dots & b_{n} \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_m \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} b_1 & \cdots & b_n \end{bmatrix}$

即 $S=C(A)=C(B)$

用B表示A

$\vec{a_1} = c_{11}\vec{b_1} + \cdots + c_{1n}\vec{b_n}$

$\vdots$

$\vec{a_m} = c_{m1}\vec{b_1} + \cdots + c_{mn}\vec{b_n}$

所以

A = [\begin{matrix} b_{1} & \dots & b_{n} \end{matrix}] \underset{C}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{m 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{1 n} & \dots & c_{m n} \end{matrix}]}} = B C

$A = \begin{bmatrix} b_1 & \cdots & b_n \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} c_{11} & \cdots & c_{m1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1n} & \cdots & c_{mn} \\ \end{bmatrix} }_C = BC$

观察C的形状，假设 $m \gt n$ ，那么C是一个宽行的矩阵，也就有如下结论:

m = r a n k (A) = r a n k (B C) \leq r a n k (C) \leq n

$m = rank(A) = rank(BC) \le rank(C) \le n$

上面现象与假设矛盾，所以假设不成立，假设的逆命题 $n \ge m$ 成立。

同样，用A表示B

$\vec{b_1} = d_{11}\vec{a_1} + \cdots + d_{1m}\vec{a_m}$

$\vdots$

$\vec{b_n} = d_{n1}\vec{a_1} + \cdots + d_{nm}\vec{a_m}$

使用矩阵表示，总结如下

B = [\begin{matrix} a_{1} & \dots & a_{m} \end{matrix}] \underset{D}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} d_{11} & \dots & d_{n 1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ d_{1 m} & \dots & d_{n m} \end{matrix}]}} = A D

$B = \begin{bmatrix} a_1 & \cdots & a_m \end{bmatrix} \underbrace{ \begin{bmatrix} d_{11} & \cdots & d_{n1} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ d_{1m} & \cdots & d_{nm} \\ \end{bmatrix} }_D = AD$

现在 $n \ge m$ ，所以 $D$ 是一个宽矩阵，有如下结论：

n = r a n k (B) = r a n k (A D) \leq r a n k (D) \leq m

$n = rank(B) = rank(AD) \le rank(D) \le m$

所以，综合上面结论，只有 $m = n$ 这一种情况，在上面两种情况下均成立，证毕。

上面的证明再一次的演示了矩阵表示的简洁与优美，可以将问题简化，方便观察特征，找到解决办法。

P.S.: $rank(AD) \le rank(D)$ 的证明参考线代随笔09-矩阵乘法与秩。

维度过多必定冗余

在空间 $R^n$ 中，任意两子空间 $V$ 和 $W$ ，如果 $dim(W)+dim(V) \gt n$ ，那么V，W交集必有非0向量。证明：假设V，W的结构如下

$V=span({v_1, \cdots, v_k}), 其中v_i线性独立$ $W=span({w_1, \cdots, w_{n-k}, \dots, w_j}), 其中w_i线性独立$

令 $A = \begin{bmatrix}v_1 & \cdots & v_k & w_1 & \cdots & w_{n-k} \end{bmatrix}$ ,且列向量线性独立，否则无需证明。

那么 $C(A)=R^n$ ，有 $w_j = \sum^k_{i=1}{c_iv_i} + \sum^{n-k}_{i=1}{d_iw_i}$

令 $w_{j1} = \sum^{n-k}_{i=1}{d_iw_i}, w_{j2}= \sum^{k}_{i=1}{c_iv_i} \Rightarrow w_j = w_{j1}+w_{j2}$

所以， $w_{j2} \in V 且 w_{j2} \in W$ ，证毕。