线代随笔09-矩阵乘法与秩

矩阵乘法不会增加矩阵的秩。形式化表示如下

$$rank(AB) \le min(rank(A), rank(B))$$

证明：

A乘以B，可以看作是对B的行做线性组合，而线性组合是不会对行空间R(B)有扩充，所以$rank(AB) \le rank(B)$。

利用上面的性质，有$rank(AB)=rank(B^TA^T)\le rank(A^T) = rank(A)$。

证毕！

若A,B的列均线性独立，秩均为r。根据之前的随笔，$B^TB$与$A^TA$均可逆，所以有

$$r = rank(A^TAB^TB) \le rank(AB^TB) \le rank(AB^T) \le rank(B^T) = rank(B) = r$$

所以

$$rank(AB^T)=rank(A)=rank(B)=r$$

也就是说，按照上面形式相乘的两个矩阵，秩无变化。