本博文主要回顾行列式的定义及其相关性质，介绍行列式与矩阵联系最紧的相关部分，大体结构如下：

  • 行列式定义
  • 3个基础性质
  • 7个衍生性质

行列式的定义

矩阵A是n阶方阵，其行列式定义如下，

\[|A| = \sum_{j=1}^na_{1j}(-1)^{1+j}M_{1j} = \sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}\]

其中，$M_{ij}$表示A去掉第i行和第j列后的矩阵的行列式，$(-1)^{i+j}M_{ij}$称为代数余子式。对任意行展开，得到的结果相同（可以通过数学归纳法证明，有点繁琐，这里略去）。行列式是一种计算规则，将n*n个实数映射为一个实数。如果按照基础定义，计算复杂度是$O(n!)$。所以，直接计算，显然不现实，下面通过定义，推导出一些性质，使得行列式的计算变得简单。

3个基础性质

根据定义，可以推导出三个行列式的基础性质，通过它们又可以推导出更多有用的衍生性质，下面先推导出这三个基本性质。

1.归一性

\[|I_n|=\prod_{i=1}^n1=1\]

直接按照定义展开即可。

2.行交换

任意两行交换，行列式值为原来的值乘以-1。使用数学归纳法证明，

证明：

当n=2的时候，很容易证明。

假设n=k（k>2）成立，

当$n=k+1$时，令第$i$行与第$j$行交换，$i \ne j$。选取第$k$行展开，$m \ne i$且m!=j。令$D$为原行列式值，而$D’$为换行后的值，有

\[D = \sum_{q=1}^na_{kq}(-1)^{k+q}M_{kq}\] \[D' = \sum_{q=1}^na_{kq}(-1)^{k+q}M_{kq}'\]

经观察，$M_{kq}$ 和$M_{kq}’$是k阶行列式，且两者对应i，j列交换，根据假设有$M_{kq}’=-M_{kq}$，所以

\[D' = \sum_{q=1}^na_{kq}(-1)^{k+q}M_{kq}' = \sum_{q=1}^na_{kq}(-1)^{k+q}(-M_{kq}) = -\sum_{q=1}^na_{kq}(-1)^{k+q}M_{kq} = -D\]

证毕！

3.线性计算

线性计算是线性代数的核心，也就是向量加法与常数乘法，详细代数也有类似性质。

加法性

\[D = \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k1} + b_{k1} & \cdots & a_{kn} + b_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ b_{k1} & \cdots & b_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} = D_a + D_b\]

证明： 直接按照定义，将第k行展开，

\[D = \sum_{q=1}^n(a_{kq}+b_{kq})(-1)^{k+q}M_{kq} = \left(\sum_{q=1}^na_{kq}(-1)^{k+q}M_{kq}\right) + \left(\sum_{q=1}^nb_{kq}(-1)^{k+q}M_{kq}\right) = D_a + D_b\]

证毕！

标量乘法

\[\begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ ca_{k1} & \cdots & ca_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} = c\begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{k1} & \cdots & a_{kn} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix}\]

证明： 直接按照定义，将第k行展开，

\[\sum_{q=1}^n ca_{kq} (-1)^{k+q} M_{kq} = c\sum_{q=1}^n a_{kq} (-1)^{k+q} M_{kq} = cD\]

证毕！

7个衍生性质

4.行相同

假设矩阵A第i,j行一样，那么按照第i行展开，得到行列式D，然后交换第i行与第j行，仍然按照第i行展开，由于两行一样，所以行列式的值仍为D，但是根据行交换，行列式反号定理，D=-D，最后得到D=0.

5.行减不改变行列式

令行列式D如下，k为任意常量

\[D = \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1 & \cdots & a_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix}\]

那么第a行减去k乘第b行，结果不变，如下推导

\[\begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1-kb_1 & \cdots & a_n-kb_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ a_1 & \cdots & a_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ -kb_1 & \cdots & -kb_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} = D - k\begin{vmatrix} \cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ b_1 & \cdots & b_n \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{vmatrix} = D - k0 = D\]

证毕！

6.全0行

如果矩阵存在某一行全部为0，那么行列式为0。直接按照0行展开，即可得到结果。

7.三角矩阵的行列式

值为对角线元素乘积。使用定义，直接展开即可。

8.矩阵可逆 <=> 行列式不为0

证明： 如果矩阵可逆，那么根据消元（不改变行列式），可以得到上三角矩阵，且对角元素不为0，那么行列式不为0。 如果行列式不为0，仍然可以通过消元得到等价三角矩阵，由于行列式不为0，所以对角元素均不为0，所以矩阵可逆。 证毕！

9.矩阵乘法的行列式

证明： 基础矩阵：消元E，乘法D，替换P与B的效果如下。

\[|EB|=|B|\] \[|DB|=\prod_{i=1}^nd_iB\] \[|PB|=-|B|\]

如果A可逆，那么$A=X_1 X_2…X_n$,其中X_i是基础矩阵， 那么 \(|AB|=|X_1||X_2 \cdots X_nB|=|X_1X_2||X_3 \cdots X_nB| = |X_1 \cdots X_n||B| = |A||B|\)

如果A不可逆，那么A奇异，那么AB也是奇异的，通过消元，必然可以得到全0行，那么$|A|=|AB|=0$。

证毕！

10.转置矩阵的行列式

转置矩阵的行列式与原行列式相等，即 \(|A|=|A^T|\)

证明：

如果$A$奇异（不可逆），那么$A^T$必然奇异，所以 \(|A^T|=|A|=0\) 。

若$A$可逆，那么$A$可以$LU$分解，即 \(|A|=|LU|=|L||U|=|U|=\prod_{i=1}^nu_{ii}\) ，$L$是下三角矩阵，对角线为1，所以 \(|L|=1\)。

同理， \(|A^T|=|U^T L^T|=|U^T ||L^T |=|U^T |=\prod_{i=1}^nu_ii=|U|=|A|\)。

证毕！

参考资料

  • Introduction to Linear Algebra, 4th Edition, by Gilbert Strang, Chapter 5 Determinant
  • 行列式乘法证明