在$\Bbb R^m$空间中，任意向量$x$可以由其在两个正交补空间的投影相加得到。直观的理解，正交补子空间将$\Bbb R^m$严格的切分成了两个部分，这两个部分唯一的交集是$\Bbb 0$向量。下面来证明这个论断。

假设A，B矩阵，列向量线性独立，且$C(A)^{\perp}=C(B)$。那么$B^TA=0$，且$A^TA,B^TB$均可逆。任意向量$x \in \Bbb R^m$在$C(A),C(B)$的投影如下

\[p_a = A(A^TA)^{-1}A^Tx\] \[p_b = B(B^TB)^{-1}B^Tx\]

现在即证明

\[x = A(A^TA)^{-1}A^Tx + B(B^TB)^{-1}B^Tx = (A(A^TA)^{-1}A^T + B(B^TB)^{-1}B^T)x\]

将x左边括号内部单独提取出来，记作$S$,

\[S = A(A^TA)^{-1}A^T + B(B^TB)^{-1}B^T\]

由于$B^TA=0$，所以为了利用此条件，等式两边分别乘以$B^T$

\[\begin{align} B^TS &= B^TA(A^TA)^{-1}A^T + B^TB(B^TB)^{-1}B^T \\ &= 0(A^TA)^{-1}A^T + (B^TB)(B^TB)^{-1}B^T \\ &= B^T \\ \end{align}\]

是不是很简单了，同理两边乘以$A^T$，

\[\begin{align} A^TS &= A^TA(A^TA)^{-1}A^T + A^TB(B^TB)^{-1}B^T \\ &= (A^TA)(A^TA)^{-1}A^T + 0(B^TB)^{-1}B^T \\ &= A^T \\ \end{align}\]

目前利用了$C(A) \perp C(B)$条件，但是仅仅这样是不够的，无法约束$S=I$恒成立。下面利用C(A)与C(B)的互补性，也就是$\begin{bmatrix}B & A\end{bmatrix}$可逆,其转置\(\begin{bmatrix}B^T \\ A^T\end{bmatrix}\)也可逆。那么，结合上面的条件，

\[\begin{bmatrix}B^T \\ A^T\end{bmatrix}S=\begin{bmatrix}B^TS \\ A^TS\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}B^T \\ A^T\end{bmatrix}\]

两边同时乘以\(\begin{bmatrix}B^T \\ A^T\end{bmatrix}^{-1}\)，得到$S=I$恒成立，所以原始等式恒成立，证毕。