序言

系统回顾线性代数已经有大半年时间，现在是时候沉淀一些内容，方便后续回顾。使用的资料是MIT的线性代数公开课和其配套教材。视频与教材同步学习，完成每节课后练习效果更佳（强烈推荐）。利用业余时间，学习一遍大概需要半年左右时间。线性代数有一种美感，它将一些复杂的概念用及其简洁的符号描绘，使得这些概念生动而有趣。这系列文章称之为“线代随笔”，主要记录一些有趣和实用的线性代数概念。本文是开篇，回顾基础消元矩阵与逆矩阵的关系。

基础消元矩阵

主要有三类基础消元矩阵

  • 消元矩阵：消除另一行（或列）的元素，使其为0，简化矩阵，例如
\[E = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -e & 1 \end{bmatrix}\]

e为任意不为0的数。

  • 除法矩阵：对任意一行进行除法操作，使矩阵中的一个轴元素(pivot value)化简为1，例如
\[D = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \over d \end{bmatrix}\]

d为非零数，对矩阵第二行（或列）全部除以d。

  • 排练矩阵：交换单位矩阵的任意两行（或列）
\[P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\]

有兴趣的读者可以根据矩阵乘法定义，验证上面三类基础矩阵的效果。

上面三类基础矩阵的共性

  • 可逆。
  • 当在乘法左边时，作用于右矩阵的对应行。
  • 当在乘法右边时，作用于左矩阵的对应列。

使用基础消元矩阵求逆

逆矩阵是基础消元矩阵连续相乘的积。举个例子，设一系列矩阵如下

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, E_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, E_{12} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, D_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]

我们有下面的结果（有兴趣的读者可以手动计算），

\[D_2E_{12}E_{21}A=I\]

等式两边右乘$A^{-1}$，

\[D_2E_{12}E_{21}AA^{-1}=IA^{-1}，即 D_2E_{12}E_{21}=A^{-1}\]

高斯乔丹法

上述方法就是高斯乔丹求逆法的核心思想。形式化，对任意可逆矩阵$A$，将其放入下面块矩阵中，

\[B = \begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix}\]

使用一些列基础消元矩阵左乘$B$，将$A$变成$I$，同时$I$变成$A^{-1}$，形式如下

\[\begin{align} D_1 D_2 \cdots P_1 P_2 \cdots E_1 E_2 \cdots \begin{bmatrix} A & I \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} D_1 D_2 \cdots P_1 P_2 \cdots E_1 E_2 \cdots A & D_1 D_2 \cdots P_1 P_2 \cdots E_1 E_2 \cdots I \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} I & D_1 D_2 \cdots P_1 P_2 \cdots E_1 E_2 \cdots \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} I & A^{-1} \end{bmatrix} \\ \end{align}\]

总结

所以，矩阵的逆就是一些列基础消元矩阵的乘积，上述过程清楚地记录整个过程。在消元的过程中，会渐渐发现一些矩阵的性质，比如矩阵的基，维度，线性独立等性质，后续会有相关文章详细介绍，敬请期待。