实数域$\Bbb R^n$下柯西不等式如下

\[|\langle x,y\rangle|^2 \le \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle,\qquad \forall x,y \in R^n\]

将其变换，可以得到如下等价形式

\[\left|\sum_{i=1}^nx_i\cdot y_i\right|^2 \le \sum_{i=1}^n|x_i|^2\sum_{i=1}^n|y_i|^2,\qquad \forall x_i,y_i \in \Bbb R\]

令$y_i = 1$，上述不等式化简为

\[\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|^2 \le n\sum_{i=1}^n|x_i|^2,\qquad \forall x_i \in \Bbb R\]

现在，如果将上面的定理推广到向量空间$\Bbb R^m$下，即$ x_i \in \Bbb R^m$，是否仍然成立呢?

\[\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|^2 \le n\sum_{i=1}^n|x_i|^2,\qquad \forall x_i \in \Bbb R^m\]

据说，柯西-施瓦茨不等式在任何内积空间都成立（这一点有待后续研究），可导出上面的等式成立。由于内积空间的论断本人未经证实。所以下面，使用数学归纳法证明上面的不等式的正确性！

证明：

当n=1时，化简为$x_1^2 = x_1^2$,成立

当n=2时，化简为($x_1-x_2)^2 \ge 0$,成立

假设当n=k时，下面不等式成立

\[\left|\sum_{i=1}^kx_i\right|^2 \le k\sum_{i=1}^k|x_i|^2,\qquad \forall x_i \in \Bbb R^m\]

当n=k+1时，设

\[\Delta_{k+1} = \left|\sum_{i=1}^{k+1}x_i\right|^2 - (k+1)\sum_{i=1}^{k+1}|x_i|^2\]

即证明在$\Delta_k \ge 0$时，$\Delta_{k+1} \ge 0$成立。将上面公式展开，化简，有

\[\begin{align} \Delta &= kx_{k+1}^2 + \sum_{i=1}^kx_i^2 - 2x_{k+1}\sum_{i=1}^kx_i + \bigg(\left|\sum_{i=1}^kx_i\right|^2 - k\sum_{i=1}^k|x_i|^2\bigg) \\ &= \sum_{i=1}^k(x_{k+1}-x_i)^2 + \Delta_k \ge 0 \end{align}\]

证毕。

其实，上面的等式可以进一步化简

\[\Delta_n = n \sum_{i = 1}^{n} |x_i|^2 - \bigg | \sum_{i = 1}^{n} x_i \bigg|^2 = {1 \over 2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (x_i - x_j)^2 \ge 0\]

有兴趣的读者可以使用数学归纳法证明。

参考