线代随笔05-向量投影
向量投影是线性代数中很重要的应用,它用于找到向量到目标投影空间中的投影向量。以三维空间为例,目标投影空间可以是线,也可以是面。线性回归是常用的数据统计分析手段,用于分析自变量与因变量的关系。线性回归求解过程与统计基本上没有关系,可以用线性代数的向量投影计算系数。当变量的系数计算完后,系数的显著性检验与统计相关。
投影矩阵推导
设向量投影到,这里很有必要假设的列向量线性独立,因为如果的列向量线性相关,投影的结果实质上是不受影响的,但是线性依赖的列向量会很大程度的影响计算,所以假设的列向量线性依赖,后面会看到为什么需要这样假设。
设是向量在中的投影,是投影向量,是投影到中的A列向量的线性组合。那么属于的正交补里面,也就是属于,所以
令投影向量,此公式中包含,由于之前已假设A的列向量线性独立,所以的逆必存在。
投影矩阵性质
- 如果A是方正,且满秩,那么。推导:。如果C(A)可以支持整个空间,那么任何向量自身就是C(A)的投影。
- 。推导:。投影一次后,再次投影不会有加成效果。
- ,对称。推导:直接利用转置与逆的互换性质。
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