完整解形式

\[\vec{x} = \vec{x_p} + \sum_{i=1}^{n-r} c_i\vec{x_{n(i)}}\]
  • 其中$\vec{x_p}$是任意特殊解，即$A\vec{x_p}=\vec{b}$;
  • $r=rank(A)$;
  • n是A的列数;
  • $\vec{x_{n(i)}} \in N(A)$,即$A\vec{x_{n(i)}}=\vec{0}$。

证明：上面等式是Ax=b的解

\[\begin{align} A(\vec{x_p} + \sum_{i=1}^{n-r} c_i\vec{x_{n(i)}}) & = A \vec{x_p}+ A \sum_{i=1}^{n-r} c_i \vec{x_{n(i)}} \\ & = A\vec{x_p}+\sum_{i=1}^{n-r} c_i A \vec{x_{n(i)}} \\ & = \vec{b} + \sum_{i=1}^{n-r} c_i \vec{0} \\ &= \vec{b} \\ \end{align}\]

证明完成。

证明：任何Ax=b的解都可以写成上面的形式

即证明

\[\forall A\vec{x'}=\vec{b}, \exists \vec{x'} = \vec{x_p} + \sum_{i=1}^{n-r} c_i\vec{x_{n(i)}}\]

等价于

\[\forall \Delta{\vec{x}} = \vec{x'} - \vec{x_p}, \exists \Delta{\vec{x}} = \sum_{i=1}^{n-r} c_i\vec{x_{n(i)}}\]

因为

\[A\Delta{\vec{x}} = A\vec{x'} - A\vec{x_p} = \vec{b} - \vec{b} = \vec{0}\]

所以$\Delta{\vec{x}} \in N(A)$, 所以上面等式成立。

证明完成。