柯西-施瓦茨不等式推广到向量空间$\Bbb R^m$

实数域 $\Bbb R^n$ 下柯西不等式如下

| ⟨ x, y ⟩ |^{2} \leq ⟨ x, x ⟩ \cdot ⟨ y, y ⟩, \forall x, y \in R^{n}

$|\langle x,y\rangle|^2 \le \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle,\qquad \forall x,y \in R^n$

将其变换，可以得到如下等价形式

{| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot y_{i} |}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{2} \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} |^{2}, \forall x_{i}, y_{i} \in R

$\left|\sum_{i=1}^nx_i\cdot y_i\right|^2 \le \sum_{i=1}^n|x_i|^2\sum_{i=1}^n|y_i|^2,\qquad \forall x_i,y_i \in \Bbb R$

令 $y_i = 1$ ，上述不等式化简为

{| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} |}^{2} \leq n \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{2}, \forall x_{i} \in R

$\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|^2 \le n\sum_{i=1}^n|x_i|^2,\qquad \forall x_i \in \Bbb R$

现在，如果将上面的定理推广到向量空间 $\Bbb R^m$ 下，即 $x_i \in \Bbb R^m$ ，是否仍然成立呢?

{| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} |}^{2} \leq n \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{2}, \forall x_{i} \in R^{m}

$\left|\sum_{i=1}^nx_i\right|^2 \le n\sum_{i=1}^n|x_i|^2,\qquad \forall x_i \in \Bbb R^m$

据说，柯西-施瓦茨不等式在任何内积空间都成立（这一点有待后续研究），可导出上面的等式成立。由于内积空间的论断本人未经证实。所以下面，使用数学归纳法证明上面的不等式的正确性！

证明：

当n=1时，化简为 $x_1^2 = x_1^2$ ,成立

当n=2时，化简为( $x_1-x_2)^2 \ge 0$ ,成立

假设当n=k时，下面不等式成立

{| \sum_{i = 1}^{k} x_{i} |}^{2} \leq k \sum_{i = 1}^{k} | x_{i} |^{2}, \forall x_{i} \in R^{m}

$\left|\sum_{i=1}^kx_i\right|^2 \le k\sum_{i=1}^k|x_i|^2,\qquad \forall x_i \in \Bbb R^m$

当n=k+1时，设

Δ_{k + 1} = {| \sum_{i = 1}^{k + 1} x_{i} |}^{2} - (k + 1) \sum_{i = 1}^{k + 1} | x_{i} |^{2}

$\Delta_{k+1} = \left|\sum_{i=1}^{k+1}x_i\right|^2 - (k+1)\sum_{i=1}^{k+1}|x_i|^2$

即证明在 $\Delta_k \ge 0$ 时， $\Delta_{k+1} \ge 0$ 成立。将上面公式展开，化简，有

\begin{aligned} Δ & = k x_{k + 1}^{2} + \sum_{i = 1}^{k} x_{i}^{2} - 2 x_{k + 1} \sum_{i = 1}^{k} x_{i} + ({| \sum_{i = 1}^{k} x_{i} |}^{2} - k \sum_{i = 1}^{k} | x_{i} |^{2}) \\ = \sum_{i = 1}^{k} (x_{k + 1} - x_{i})^{2} + Δ_{k} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align} \Delta &= kx_{k+1}^2 + \sum_{i=1}^kx_i^2 - 2x_{k+1}\sum_{i=1}^kx_i + \bigg(\left|\sum_{i=1}^kx_i\right|^2 - k\sum_{i=1}^k|x_i|^2\bigg) \\ &= \sum_{i=1}^k(x_{k+1}-x_i)^2 + \Delta_k \ge 0 \end{align}$

证毕。

其实，上面的等式可以进一步化简

Δ_{n} = n \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{2} - | \sum_{i = 1}^{n} x_{i} |^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (x_{i} - x_{j})^{2} \geq 0

$\Delta_n = n \sum_{i = 1}^{n} |x_i|^2 - \bigg | \sum_{i = 1}^{n} x_i \bigg|^2 = {1 \over 2} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (x_i - x_j)^2 \ge 0$

有兴趣的读者可以使用数学归纳法证明。

柯西-施瓦茨不等式推广到向量空间 $\Bbb R^m$

参考